Да, по правилам: Карл-Маркс-Штадт (т. к. штадт не употребляется в русском языке как нарицательное существительное). Ср. в книге А. В. Суперанской «Ударение в собственных именах в современном русском языке» (М., 1966): Карл-Маркс-Штадт.
Написание зависит от того, как официально зарегистрировано название центра. В любом случае название следует писать в кавычках.
Пожалуйста, используйте словарь.
Грамматика здесь ни при чем: написание слов с прописной или строчной буквы – вопрос орфографии. Имена существительные – названия национальностей теоретически тоже могут быть написаны с большой буквы, если им придается особый высокий смысл.
Правильно: Лебедевым-Кумачом.
Во множественном числе: сиденья, сидений, сиденьям и т. д.