Такое употребление возможно. См. значение слова в толковом словаре.
Ошибку можно охарактеризовать как речевую, так как грамматически конструкция работать с корректна (ср.: работать со словарем, с коллегами, с анкетами), однако зависимое слово в ней выбрано неудачно. Это проблема лексической сочетаемости. Нормально выражение заниматься домашними делами.
Возможны оба варианта, но чаще в таких случаях пишут слитно.
Ударение падает на окончание: стопа, стопы, стопами. Правильно: прижимайтесь стопами.
Название института предпочтительно заключить в кавычки и не склонять: Учреждение Российской академии наук «Институт физики твердого тела», Учреждению Российской академии наук «Институт физики твердого тела», Учреждением Российской академии наук «Институт физики твердого тела».
Запятые нужны в обоих случаях.