В сочетании со словом город слово Олимпия в любом случае является приложением. Правило о склонении названий городов в сочетании со словом город распространяется не только на исконные наименования, но и на давно заимствованные и освоенные. К этой группе и можно отнести слово Олимпия. Поэтому сочетание в городе Олимпии соответствует литературной норме.
Правильно: приглашает на день рождения (на празднование дня рождения).
Запятая нужна. Если название состоит из двух частей, соединенных союзом или, то перед союзом ставится запятая.
Правильно: мой распрекрасный день рождения.
Корректно: группа... планировала.