Корректно: между белым и синим цветом.

Рекомендуем обратиться к «Справочнику по фразеологии».

Предпочтительно: не набивал себе синяков.

Знаки препинания после красный не требуются.

Выражение синий чулок (от него образовано встреченное Вами слово синечулочница) употребляется, когда говорят о педантичной женщине, лишенной обаяния и женственности, поглощенной лишь научными интересами. Возникло в Англии в 80-е гг. XVIII в. Происхождение связывают с шутливым названием общества, в котором проводились беседы на научные, литературные и прочие возвышенные темы. «Обществом синего чулка» назвал его голландский генерал Боскавен в бытность свою в Англии, т. к. душою бесед был ученый Бенджамен Стеллингфлит, который, пренебрегая модой, при темном платье носил синие чулки. По другим источникам, между женщинами там особенно отличалась некая Стиллингфлит, которую называли blue stocking, потому что она носила синие чулки.

Вы справедливо отмечаете, что одушевленные существительные среднего рода встречаются. Почему эти существительные одушевленные? Это связано с их лексическим значением (т. е. соотнесенностью с "живой природой").

Более точное по смыслу согласование - во множественном числе: на столе лежат красный и синий карандаши. Но: на столе лежит красный карандаш и синий.

Да, такое употребление за рамками нормы.

Извините, вопрос не вполне понятен. Формулировка условий задачи должна быть, вероятно, примерно такой: "Какими могут быть шары в мешке, если известно, что они или большие, или красные?"  

Пунктуация верна. Перед союзом И не ставится запятая, поскольку в начале предложения есть слова, относящиеся к двум частям сложного предложения: по вечерам.