См. в «Письмовнике».

Следует писать с маленькой буквы, например: общество с ограниченной ответственностью, кооператив, товарищество на вере.

Корректно в кавычках, со строчной: «болотное дело».

Правильно: Средневековье (название исторической эпохи) и средневековье (в значении 'устарелые обычаи, отсталый уровень').

Корректное написание: Советско-японская война.

Со строчной буквы пишется слово после многоточия, например, в цитатах: после открывающих кавычек для указания, что цитата приводится не с начала предложения; в середине цитаты, когда пропущена часть текста внутри ее. А также в предложениях, где многоточие ставится для обозначения незаконченности высказывания, для указания на перерывы речи, неожиданный переход от одной мысли к другой: Вот я... выздоровлю, я... вас... вынесу! (Горький).