Запятая ставится: Будучи живыми организмами, деревья улучшают климат, состояние окружающей среды.
Да, верно: предынфарктное состояние.
Нет, нельзя.
Ограниченно работоспособное пишется раздельно, так как это словосочетание, состоящее из прилагательного и наречия: работоспособное (до какой степени?) ограниченно.
Верно: Совместный прием можно начинать, только если у пациента стабильное состояние.