Да, это действительно так. На вопрос «Кому?» верным будет ответ: «Натиа». И на вопрос «Кем?» – тоже. Натие, Натией – формы имени Натия.
Кавычки могут быть использованы.
Верно: прийти.
В тех случаях, когда четко указывается женский пол детеныша (как здесь - с помощью имени Настя), следует ставить определения в форму женского рода: дрессированная, обученная.
После слова "привет" (перед обращением) нужна запятая. Формы Маш, Наташ возможны при передаче разговорной речи.
Нет.
Верно: Компания XXX и Настя поздравляют Вас с Новым годом.