См. в «Письмовнике».
Правильно: российский флот (неофициальное название), но: Военно-Морской Флот РФ (официальное наименование).
Правильно со строчной. Обратите внимание: при написании строчными буквами прилагательное западносибирский пишется слитно.
Правильно: Средневековье (название исторической эпохи) и средневековье (в значении 'устарелые обычаи, отсталый уровень').
Верно со строчной: требования федерального законодательства (но: требования Федерального закона "Название закона").
Следует писать со строчной: арктический шельф.