Запятую ставить не нужно, так как оборот с союзом как имеет значение образа действия и его можно заменить наречием по-песьи.
Орфографический словарь
Большой толковый словарь
Нужно склонять оба слова.
Правильно: Я гуляю по Луне. Слово Луна употреблено как название космического объекта.
Название Агиос-Николаос (точнее, Айос-Николаос) желательно склонять: в Айос-Николаосе, из Айос-Николаоса.
Слово луна не употребляется здесь в терминологическом значении, поэтому пишется строчными: ничто не вечно под луной.
Нет, запятые не нужны.