Оба варианта возможны.
Лучше так: Погиб в бою под Новороссийском 1 июня 1943 г. или Погиб в бою под Новороссийском во время Великой Отечественной войны – 1 июня 1943 г.
Да, это уточняющее обстоятельство, и его нужно обособить.
Наращение не нужно.
Да, правильно.