Приставки анти- и супер- пишутся слитно: антиНАТО, суперЭВМ.
Вы написали правильно. Верно: в инее.
Корректно: Я бы советовал молодежи служить в армии; Я бы советовал молодежи идти в армию.
Это управление неизменяемым словом.
Правильно: А пока решаете, идти или нет на фестиваль...
Вариант за водой, за грибами общеупотребительный и стилистически нейтральный, вариант по воду, по грибы уместен в разговорной, в народно-поэтической речи.