Это сочетание пишется строчными буквами, если оно не является полным официальным названием документа.
Оба слова можно использовать.
Это выражение пишется строчными буквами.
Официально: Департамент культуры города Москвы.
Корректно написание со строчной буквы: так пишут в официальных документах, регламентирующих проведение ЕГЭ, и такова современная словарная фиксация.
Правильно: государственный музей-заповедник (прилагательное государственный относится к обеим частям наименования "музей-заповедник").
Да, правильно с прописной: Государственный секретарь.