Сейчас следует писать эту должность строчными буквами.
Официально: Департамент культуры города Москвы.
Правильно: государственный музей-заповедник (прилагательное государственный относится к обеим частям наименования "музей-заповедник").
Да, правильно с прописной: Государственный секретарь.
Это сочетание пишется строчными буквами, если оно не является полным официальным названием документа.
Корректно написание со строчной буквы: так пишут в официальных документах, регламентирующих проведение ЕГЭ, и такова современная словарная фиксация.
Департамент в этом названии пишется с большой буквы (как первое слово официального названия).