"Справка" не выполняет домашних и конкурсных заданий.
Корректно: в спектакле играет (занят) известный актер.
Верно: баннер.
В Орфографическом словаре на нашем портале отмечено лишь слово хедер (толкования в некоторых словарях такие: "еврейская начальная школа для обучения мальчиков основам иудаизма" и "от англ. header, жатвенный рабочий орган зерноуборочного комбайна"). Что касается названных Вами слов, то они пока что не получили словарной фиксации, поэтому написание неустоявшееся. Предпочтительно написание через Е: хедер, бекап.
В современном русском языке верно: жабр.
См. в Проверке слова.