Правильно: на похоронах.
Корректно: о выдвижении кандидата на пост главы города.
Названия озер, выступающие в роли приложения, не склоняются: на озере Отрадное.
Топонимы в сочетании со словом остров обычно не склоняются. Поэтому верно: на острове Сахалин. Подробнее см. в "Письмовнике".
Правильно: на Арбате, на улице Арбат.
Правильно: на побережье.