Корректно: ...право подписи документов по кадровым вопросам. Кадровские документы – ошибочное словосочетание.

Зафиксированное словарями написание: дрегстер. Именно его следует придерживаться.

При переходных глаголах с отрицанием возможны обе формы.

В словарях зафиксировано слово аккомодационный.

Нет, слово убогий  не мотивировано сочетанием у Бога, происхождение этого слова иное.

Действительно, слова убогий, бог, богатый, богатство являются этимологически родственными, они восходят к одной и той же праславянской основе *bogъ, имеющей соответствие в других индоевропейских языках. Но важно подчеркнуть, что религиозное значение у слова бог является вторичным; исходное значение праславянского *bogъ – 'наделяющий богатством, дающий благополучие'. От этой основы и были образованы слова богатый  и убогий, при этом слово убогий образовано с помощью приставки у-, которая в древности означала движение в сторону, прочь, вон (т. е. в слове убогий у = не). Буквально убогий – 'не наделенный благополучием; лишенный богатства'.

Следует писать строчными буквами.

Название сосуда для вина – кратер, с ударением на последнем слоге.

Т. е. имеется в виду, что устройство способно мыть что-либо без помощи воды? Пожалуйста, поясните смысл фразы.

Сожалеем, но вопрос не связан с русским языком.

Достаточно: Необходимо позвонить в указанное клиентом время (т. е. подразумевается, что дата тоже будет указана).