Топонимы славянского происхождения на -ов(о), -ев(о), -ин(о), -ын(о) по нормам русской грамматики могут и должны склоняться. Они изначально были склоняемыми (вспомните у Лермонтова: Недаром помнит вся Россия про день Бородина!). Первоначально несклоняемые формы употреблялись лишь в речи географов и военных, потому что очень важно было давать названия в исходной форме, чтобы не было путаницы: Киров и Кирово, Пушкин и Пушкино и т. п. Но постепенно из устной речи несклоняемые формы проникли в письменную речь. Так, в «Грамматике современного русского литературного языка» 1970 года было указано, что в современном русском языке обнаруживают тенденцию пополнять группу слов нулевого склонения топонимы с финалями -ов(о), -ёво, -ев(о), -ин(о). Другими словами, несклоняемость тогда только начинала распространяться.
Таким образом, несклоняемые варианты стали настолько широко распространенными, что изначально единственно правильный склоняемый вариант многими теперь воспринимается как ошибочный! Если когда-то Анна Ахматова очень возмущалась, когда при ней говорили мы живем в Кратово вместо мы живем в Кратове, то теперь употребление в Строгине, в Люблине многими совершенно напрасно воспринимается как порча языка. Между тем такое произношение и написание отвечает грамматической норме.

Правильно: гуттаперчевый. Гуттаперчевый – соотносящийся по значению с существительным гуттаперча, связанный с ним; свойственный гуттаперче, характерный для нее; сделанный из гуттаперчи. Гуттаперча – твердое, сходное с каучуком вещество белого или желтовато-коричневого цвета, получаемое из затвердевшего сока некоторых растений и применяемое для изоляции подводных кабелей, изготовления клеящих материалов и т. п.

См. в разделе Склонение существительных в учебнике Е. И. Литневской.

Литературная норма русского языка, согласно которой следует говорить и писать на Украине, – результат исторического развития языка на протяжении нескольких столетий. Сочетаемость предлогов в и на с определенными словами объясняется исключительно традицией. Ср.: в школе, в институте, в аптеке, в отделе, но: на заводе, на почте, на курорте, на складе и т. д. Веками складывавшаяся литературная норма не может измениться в одночасье из-за каких-либо политических процессов.

Да, предпочтительно ставить кавычки, поскольку слова употребляются не в своем обычном значении.

Да, слова днем, зимой, вечером и т. п. являются наречиями, произошедшими от существительных. Например: Маленькой елочке холодно (когда?) зимой. Он придет (когда?) днем. Эти наречия омонимичны формам творительного падежа существительных, например: Я наслаждаюсь (чем?) этим прекрасным днем. Так что говорить о том, чем является отдельная взятая словоформа днем, вне контекста нельзя.
Не совсем понятно, что Вы имеете в виду под словом официально. Со справкой о регистрации в разделе «Наречия» от такого-то числа? :) «Официальными» документами являются словари и грамматики, которые фиксируют те или иные языковые явления. Назвать ту научную работу или то грамматическое исследование, в котором впервые было отмечено, что слова днем, вечером, зимой могут иметь морфологические признаки наречия, не представляется возможным.

Есть правило о написании Ь в некоторых грамматических формах после шипящих, в котором приведенные примеры не рассматриваются.

1. Правильно с прописной в полных официальных названиях. 2. Возможны оба варианта. 3. В числе присутствовавших.

Оба падежа возможны, но с разным значением, ср.: регулирование (чего) крана (чем) гаечным ключом.

Трудно посоветовать что-то "оперативное". Для начала обратитесь к книгам по исторической грамматике русского языка (классический учебник П. С. Кузнецова).