Верно: Какие бы сюрпризы они ни преподносили, все оставалось по-прежнему.

Корректно с прописной буквы: В регионе проходят Дни культуры, Дни поэзии, Дни архитектуры. 

Согласимся с Вами: в предложении слишком много усилительных элементов. Предлагаем такой вариант: В итоге герой не вызывает ни симпатии, ни эмпатии, не выглядит вообще хоть сколько-нибудь живым.

Корректно: Ни кто они, ни откуда явились, было неизвестно.

В этом восклицательном предложении содержится частица не: Да с кем они только не танцевали!

Отрицательная частица употреблена верно, а вот согласование хромает; должно быть: в чем бы ОНО... ни заключалось.

Правилен первый вариант. Глагол перечить относится ко II спряжению, так как имеет безударные личные окончания, в инфинитиве заканчивается на -ить, не относится к исключениям. В личных окончаниях глаголов II спряжения пишутся гласные и, а, я. 

Определить окончание глагола можно с помощью орфографического словаря. Там указывается форма первого и третьего лица единственного числа. Окончание третьего лица единственного числа позволяет установить спряжение. Окончание -ет говорит о том, что глагол относится к I спряжению, -ит — ко II спряжению. 

Правильно: они стелют. Стелить – глагол первого спряжения.