Правильно: Мария, Марии, Марии, Марию, Марией, о Марии.
Запятая обязательна: Здравствуйте, Мария Семеновна!
Корректно: из Борзоя, в Борзое (ср.: из Шатоя, в Шатое).
В подписи уместен женский род: заведующая сектором Мария Ивановна Сидорова. Мужской род – в строгой деловой речи, в официальных документах.
Верно: Королевство Дания (согласно Общероссийскому классификатору стран мира).
Лучше использовать форму единственного числа сказуемого: происходит.
Верно с запятой.
Предпочтительно: государственный советник Мария Гайдар утверждала.