Можно.
Верно: ФГУП... начало.
Кавычки нужны, при этом предпочтительно использовать кавычки разного рисунка: ФГУП «Концерн "Росэнергоатом"».
Корректно: во ФГУП.
1. Лучше использовать сочетание атлетический зал.
2. Корректно слитное написание по аналогии со словом конноспортивный: коннотуристический.
Словарной фиксации нет. Корректно: клип-ответ.