Помешенный - причастие от глагола помесить. Можно ли помесить суп?
В этом случае используется строчная буква.
Верно: сообщает, так как главное слово в названии организации – агентство.
С грамматической точки зрения оба варианта допустимы, но с лексической точки зрения ответы едва ли удовлетворительны.
Такое употребление возможно, хотя встречается нечасто. Подробнее см. в словаре "Управление в русском языке".
Неправильно. См. значение слова жаркий в толково-словообразовательном словаре (окно «Искать на Грамоте»).