Оба слова могут быть образованы, однако такие варианты малоупотребительны. В канцелярской речи используется вариант на безвозмездной основе.
Оба варианта возможны.
А о чем же тогда идет речь?
Верно: В лице директора Ивановой, действующего...
В этом случае возможно склонение без выпадения гласной: доверяю Косовецу.
Верно: на бесплатной основе. Но более употребительно: на безвозмездной основе.
Корректно: ...тезис «все живое обладает ценностью».