Эти мужские фамилии склоняются.
Верно: класть, но положить.
Корректно: В столице Орды Сарай аль-Джедиде.
В деловой речи устоялась первая из указанных Вами моделей. Однако она двусмысленна, поэтому в реквизитах деловых документов желательно название должности и организации помещать на разных строчках, а в текстах избегать подобных конструкций.
В обоих случаях корректно слитное написание.
Да, мужская фамилия Сагун склоняется: Сагуна, Сагуну и т. д. Женская фамилия Сагун несклоняема.