Верно: панихиду по политике.
Эти слова не являются вводными и не обособляются.
Можно, хотя это выражение и не является устойчивым.
Верная пунктуация: Помочь детям, больным раком, можем только мы.
Удалить в значении 'устранить что-л. оперативным путём; вырезать' – слово, характерное для медицинской речи. С ним такое неточное, разговорное употребление вряд ли возможно, поэтому корректно: удалить опухоль.
Слово рак вместо опухоль может использоваться в разговорной речи, но с другими глаголами, в первую очередь – вырезать. Ср.: Месяца два назад у его сестры вырезали рак, и теперь все ждали возврата болезни (А. Чехов, Три года).
Правильно: ООО... радо сотрудничеству.
Нет, так сказать нельзя. Фраза построена неграмотно.