Оба варианта верны.

Все эти названия склоняются. Подробнее в "Письмовнике".

Предложение, имеющее в своем составе две или несколько грамматических основ, называется сложным. Таким образом, приведенное предложение с прямой речью является сложным, так как в каждой части предложения есть своя грамматическая основа: в первой части - князь наступил и молвил и во второй - спи.

О проверочных словах говорить не приходится, поскольку ударение в русском языке подвижное, разноместное, в разных словах может падать на разные слоги, при этом различные аналогии часто тоже «не работают».
Помета не рекомендуется в «Словаре трудностей произношения и ударения в современном русском языке» К. С. Горбачевича применяется в тех случаях, когда маркированный вариант в данное время не признается нормативным, однако его широкое употребление в современной речи и нередко соответствие основным тенденциям развития русского языка не исключают возможности признания такого варианта нормой литературного языка в будущем. Таким образом, помета не рекомендуется не означает «можно, но не стоит», а означает «сейчас нельзя, но не исключено, что когда-нибудь станет можно». В современном русском литературном языке правильно только допилА.

Словари фиксируют сокращения ч.-к. и чл.-корр. как равноправные. Стилистических различий нет.

Словарного запрета нет, но, как Вы верно замечаете, такое сочетание не употребительно.

В этих предложениях запятая не нужна, поскольку сравнительный оборот в них тесно связан со сказуемым.

Конструкции "сказал о том, что..." и "сказал, что..." синонимичны.

Хлопнуть дверью – демонстративно, с возмущением удалиться откуда-то.

См. в «Письмовнике».