Словарная рекомендация: «Собака Баскервилей» (роман А. Конан Дойла).
Правильно: разыскная собака.
О том, как связаны слова каникулы и собака, можно прочитать в заметке Н. Черниковой «Портфель, тетрадь, пенал, циркуль… Откуда взялись в русском языке и что означают эти и другие «школьные» слова?».
Запятая ставится.
Такие сочетания невозможны. Собака – существительное женского рода. Правильно: моя собака, наша собака, вне зависимости от пола животного.
Предпочтительно слитное написание.