Правильно без кавычек: наука правит бал.
Это метонимия. Слово каска следует писать с маленькой буквы без кавычек.
Нормативно: НАСА прервало.
Форма множественного числа слова наука: науки.
Верно: намекаю на что-либо.
О нормах правописания можно узнать в окне «Проверка слова» на нашем портале.
Для написания этих сочетаний с большой буквы нет никаких оснований. Правильно: российская наука, медицинская наука.