Корректно: Томский российско-немецкий дом, администрация Томской области, проект "Российско-немецкая молодежная академия", "академовцы", департамент образования Томской области.
Словарная фиксация: Римский форум. См.: Лопатин В. В., Нечаева И. В., Чельцова Л. К. Прописная или строчная? Орфографический словарь. М., 2011.
Правильно строчными: кемский городничий.
Оба слова пишутся с прописной только при официальном титуловании, в остальных случаях – со строчной: папа римский Иоанн Павел II, выборы папы римского.
Правильно: конский след (в знач. "свойственный коню").
Эти сочетания пишутся без кавычек.
Принято написание без наращения.
Орфографический словарь
Оба слова пишутся с прописной только при официальном титуловании, в остальных случаях – со строчной (папа римский).