Это слово есть в диалектах, но отсутствует в словарях литературного языка.
Если кусочки курицы тушили с шампиньонами, тогда правильно именно так, как предлагает корректор: кусочки курицы, тушенные с шампиньонами. Если же к тушеным кусочкам курицы потом добавили шампиньоны, верно: кусочки курицы тушеные с шампиньонами (= тушеные кусочки курицы с шампиньонами).
Запятая не нужна. Если в сложноподчиненном предложении перед подчинительным союзом или союзным словом стоит сочинительный союз и, или, либо, ни и т. д. (обычно повторяющийся), то запятая между главной и следующей за ней придаточной частью не ставится.