Возможны варианты: у кого-либо / с кем-либо случился обморок.

В смысле "выполните совместное физкультурное упражнение"? В этом значении такая фраза возможна.

Орфографический академический ресурс «Академос» Института русского языка им. В. В. Виноградова РАН фиксирует: 

ашиха́ра-карате́, нескл., с.

карате́, нескл., с.

карате́-до́, нескл., с.

карате́-кеку́синкай, нескл., с.

коси́ки-карате́, нескл., с.

По аналогии следует писать и другие названия стилей карате.

Слова первенство ('соревнования за первое место') и чемпионат пишутся строчными.

Это домашнее задание для "Справочного бюро"?

В сочетании белок кератин никакие знаки не нужны. Это два нарицательных существительных, выражающих родовое и видовое понятия в классификации природных объектов (см. пункт 2а параграфа 122 полного академического справочника «Правила русской орфографии и пунктуации» под ред. В. В. Лопатина).

Для того чтобы ответить на этот вопрос, необходим более широкий (и более определенный) контекст.

Неясно, что означает сочетание "5 карата".

Правильно: соскучиться по кому-либо.