В этом наименовании прописные (большие) буквы не требуются.
Да, обе фамилии склоняются, как в мужском, так и в женском варианте.
Кефир -- от осетинского k'aepy, мегрельского kipuri 'простокваша'.
Дерево -- суффиксальное производное от той же основы, что и драть, древнеиндийское daru, греческое dory, хеттское taru и т. д. Первоначальное значение существительного дерево -- 'выдранное или ободранное'.
Да, верно, хотя и следует отметить разговорную окраску этого оборота.
Правильно: заведующий кафедрой.
В устной речи такое словосочетание допустимо, если есть уверенность, что адресаты высказывания поймут сокращенный вариант. В письменном тексте предпочтительным видится вариант без лексических пропусков.
Верен второй вариант.