Правильно: Мария, Марии, Марии, Марию, Марией, о Марии.
В подписи уместен женский род: заведующая сектором Мария Ивановна Сидорова. Мужской род – в строгой деловой речи, в официальных документах.
По строгим нормам литературного языка такие фамилии не склоняются. Однако в непринужденной разговорной речи существует тенденция склонять такие фамилии, когда они принадлежат мужчинам, действующая тем сильнее, чем ближе общение с носителем фамилии.
Верно с запятой.
Предпочтительно: государственный советник Мария Гайдар утверждала.
Правильно: Марии.
Правильно: Чхетии Марии Ривазовне.
В переводе с латинского значит 'здравствуй'.