Возможно употребление этого сочетания без кавычек.
Скидки по картам - корректно. Возможно: распродажа для держателей карт.
Словарной фиксации нет, рекомендуем писать: кобренд-карта.
Правильно: Солт-Лейк-Сити.
Корректно с прописной без кавычек: использовать Пушкинскую карту.
Склоняется: каротажа, каротажу и т. д.
Оба варианта возможны.
Оба варианта правильны, но имеют разные значения.
Вариант взять карту в руку означает буквально взять карту и держать её в руке. Также в литературном языке имеется выражение взять карту на руки — то есть получить (медицинскую) карту лично, будучи ее владельцем. Вариант «взять карту на руку» используется в карточных играх как профессионализм и означает взять карту для последующего использования в игре.