Название не зафиксировано в орфографических словарях. Так как Розеттский камень – название памятника письменности, корректно написание первого слова с заглавной буквы. Ср.: Тмутараканский камень.
Лучше использовать запятые: "Камень, ножницы, бумага".
Это существительное среднего рода.
Такое слово есть. Предложение корректно.
Этот оборот обычно не требует постановки кавычек.