Корректно: заслуживающий доверия.
В подобных случаях название института следует писать в кавычках и не склонять: Учреждение Российской академии наук «Институт серпа и молота», директор Учреждения РАН «Институт серпа и молота».
В названиях организаций, учреждений с большой буквы пишется первое слово. Корректно: Международный институт психоанализа.
Правильно: окончить институт.
Кавычки не нужны: Институт европейских исследований.
В принципе - можно.
Прилагательное от Ростов-на-Дону – ростовский. Правильно: Ростовский институт народного хозяйства.