1. См. обсуждение этого слова на нашем http://gramota.ru/forum/read.php?f=27&i=480&t=480 [форуме]. 2. Мусор - в русском языке известно с XVII в., причем сначала только в специальном употреблении битый кирпич, мелкие остатки каменного угля и т. п.. В настоящее время слово мусор связывают с «мусолить, муслить» и относят к группе, восходящей к индоевропейской базе от корня meu-, mou- - «сырой, нечистая жидкость, грязнить».

В индоевропейских языках частица утверждения, как правило, восходит к указательным местоимениям или к их разнообразным соединениям с другими словами. Французское oui, например, восходит к латинскому hoc ego – 'вот я, то я'; итальянское si – к латинскому же слову sic 'так', а немецкое ja и английское yes (слова эти родственные) – к индоевропейской местоименной основе *io (отсюда же древнерусское местоимение и, я, е 'этот, эта, это'). 

Славянские языки, в том числе русский, не являются исключением. Русское да восходит к праславянской основе *da 'так' (от индоевропейской основы *do; в индоевропейскую эпоху слово do значило 'сюда'). Интересно, что к этой же основе восходят и немецкое zu 'к', и английское to. Лингвисты предполагают существование в общеиндоевропейскую эпоху местоименной (указательной по значению) основы *de-: *do, от которой (возможно, от одной из падежных форм) и происходит праславянское *da. В других славянских языках утвердительные частицы тоже происходят от указательных местоимений: чешское ano 'да' – от сочетания a-ono, а по-польски да будет tak.

Таким образом, механизм образования утвердительных частиц в индоевропейских языках практически одинаков, а многообразие вариантов объясняется различными фонетическими и лексическими процессами, происходившими в разных языках на протяжении многих столетий.

Слово болельщик образовано от глагола болеть в переносном значении, развившемся на базе прямого - "испытывать боль". Раньше слово болельщик нередко употреблялось и в значении "о том, кто проявляет участие, заинтересованность в каком-то деле, заботится, беспокоится о нем". Вот пример из Л. Успенского: В России его [Уэллса] слышат и понимают... как великого болельщика за будущее человечества. Сам же глагол болеть восходит к индоевропейской основе.
Интересно, что существительное фанат восходит к латинскому fanari - "безумствовать, бесноваться". А итальянское тифози того же корня, что тифозный. Слово тиф - от греческого typhos - "дым, помрачение, горячка, бред".

Наталья Ивановна вернулась из отпуска и отвечает Вам:
У нас уже возникал этот вопрос. Ответ отрицательный. В слове гекатомба выделяются два корня: hekaton (числительное 100) и be (бык). Это жертвоприношение, при котором забивали 100 быков - особо торжественное действо. Имя же Гекаты Hekate, как и большинство имен греческих богов, негреческого происхождения. Есть всякие теории, но в конечном счете только имя Зевса надежно этимологизируется на индоевропейской почве, Остальные - либо из Междуречья, как Афродита - Астарта, Иштар, либо догреческого происхождения, либо явные прозвища, как Дионис ("Зевсово дитя"), да и того часто ассоциируют с семитским Адонисом...В общем - не родственны эти слова.