Правильно: шенгенские соглашения, шенгенская виза, но Шенгенская конвенция, Шенгенский комитет, страны Шенгенской группы (словарь В. В. Лопатина, И. В. Нечаевой, Л. К. Чельцовой «Прописная или строчная?»). По аналогии: Шенгенская зона (в значении 'страны Шенгенской группы').
Запятая не ставится.
Запятая ставится. Обособляется распространенное определение, стоящее после определяемого слова.
Сочетание устоялось в языке, его можно писать без кавычек.