Оба варианта корректны, различаются оттенками значения: Не надо задавать вопросы (конкретные), Не надо задавать вопросов (вообще никаких).
Верно слитное написание.
О частях речи и образцах их морфологического разбора см. в пособии Е. И. Литневской.
Здесь Вы найдете образцы морфологического разбора разных частей речи:
Общеупотребительно: сделать укол, сочетание поставить укол – профессионализм, характерный для речи медиков.
См. раздел «Принципы морфемного анализа слова» в учебнике Е. И. Литневской.
Правильно: сделать то же самое.