Пожалуйста, воспользуйтесь словарями.
Существуют оба выражения.
Не нужна. Придаточные предложения, присоединяемые союзом «в связи с чем», выделяются (или отделяются) запятыми, но после самого союза запятая не ставится.
В обоих случаях оба слова в собственном названии улицы нужно писать с прописной буквы: Красный Путь.
Оба варианта правильны.
Название этой организации пишется без кавычек, правильно: Красный Крест. См.: Русский орфографический словарь РАН / Под ред. В. В. Лопатина, О. Е. Ивановой. – 4-е изд., испр. и доп. – М., 2012.