Предложение некорректно.
Кавычки могут быть поставлены по решению автора текста.
Держать на контроле, находиться на контроле - это обороты канцелярской речи, не являющиеся ошибочными.
"Держать ларек" - это разговорный оборот речи.
Верная пунктуация: Это нужно не чтобы оценить уровень мастерства, а просто чтобы понять, умеет ли кандидат вообще держать в руках ножницы и фен.
Запятая нужна.
Поддерживаемый - от глагола первого спряжения (поддерживать, поддерживает). Глаголы держать и поддерживать относятся к разным спряжениям (ко второму и к первому соответственно).
Нужно поставить запятую.
Запятая не ставится.