Правильно: государственный контракт.

Правильно: Государственный исторический музей, при неофициальном употреблении: Исторический музей.

Нет, правильно со строчной: проводились все виды испытаний, включая государственные.

Заглавная и прописная буква – это одно и то же (большая буква). Маленькая буква называется строчная.

Слово храм 'архитектурное сооружение' пишется со строчной, например: храм Всех Святых, храм Христа Спасителя. Прописная буква – в таком контексте: орден рыцарей Храма.

Слово государственный пишется с прописной буквы, если является первым словом в названии органов власти, учреждений, организаций, научных, учебных, зрелищных заведений; наград, символов и т. п, например: Государственная Дума, Государственная Третьяковская галерея, Государственный фонд кинофильмов РФ, Государственный институт русского языка им. А. С. Пушкина, Государственный флаг РФ (в офиц. текстах), Государственная премия. В остальных случаях правильно написание со строчной, например: Единый государственный экзамен, Московский государственный лингвистический университет, государственное унитарное предприятие, органы государственной власти.

Ввести в состав комитета - корректно.

Это выражение пишется строчными буквами.

Сейчас следует писать эту должность строчными буквами.

Это сочетание пишется строчными буквами, если оно не является полным официальным названием документа.