Верно: попить чайку.
Ломать копья – с жаром спорить о чём-либо, защищать, отстаивать что-либо.
Верно: Можно я пойду попить воды?
Предпочтительно (особенно в письменной речи): рапорты. Вариант рапорта разговорный.
Правильно: род. – Лопаты, дат. – Лопате, вин. – Лопату, твор. – Лопатой, предл. – (о) Лопате.