Существительно глубь образовано от прилагательного глубокий, способ образования – нулевая суффиксация (иное название – безаффиксный способ).
"Справка" не выполняет школьных заданий.
Снег имеется в виду падающий? Тогда: сильный снегопад. О слое лежащего снега: глубокий снег.
Лучше: нора была глубока, была глубокой.
Обычно употребляется форма мн. числа: глубокие соболезнования.
Словосочетание глубоко ошибаться следует признать корректным: оно зафиксировано в «Словаре сочетаемости слов русского языка» под ред. П. Н. Денисова и В. В. Морковкина.
Разумеется, сочетание глубоко заблуждаться также соответствует литературной норме.
Правильно: Благодаря системе глубокой очистки... Постановка запятой факультативна.