В этом предложении неправильно употреблен глагол. Такая формулировка нежелательна даже в разговорной речи.
Да, в целом верно.
Корректно: с изображением оленя и двух собак.
Такой оборот речи не вполне корректен.
В этой конструкции нарушена лексическая сочетаемость. Ошибка возникла, по всей видимости, вследствие контаминации выражений выразить сочувствие (признательность) и произнести слова сочувствия (признательности).
Вылазить - разговорно-сниженный вариант. Нейтрально: вылезать.
Эти варианты идентичны по смыслу.