Запятая перед есть не нужна.
Буду спать, будешь спать, будет спать и т. д.
Правильно: по истечении времени.
Предпочтительно: ...давалось минимум времени.
Не входит. См. раздел Основа в учебнике Е. и. Литневской.
Правильно: по истечении некоторого времени (после истечения).