Правильно раздельное написание: верить на слово.
Возможны оба варианта.
Оба сочетания правильны. Они синонимичны.
Правильно: верить во что-то.
Сейчас корректным считается устойчивый оборот пеняй на себя. Вариант без предлога устаревший.
Можно написать: желает не верить, не желает верить.
Запятая не нужна.
Следует поставить двоеточие: Я начинаю верить: вернется весна...