Оба варианта возможны.
С точки зрения норм современного русского литературного языка корректно: в главном бальном зале дворца.
Корректно со строчной: галерея Растрелли в Эрмитаже.
Стилистически нейтрально и общеупотребительно: дверь автомобиля.
Верно с прописной, но лучше использовать сокращение Д/к.
Некоторые прилагательные от имен собственных, что хорошо известно, образуются при помощи суффикса -ск-.