Верно: Отражает характер эпохи, в которую человек живет.
Корректно: ледовая арена "Трактор". В кавычки заключается собственное условное наименование. Нарицательное наименование (ледовая арена) пишется строчными.
Слова по закону не являются вводными и не обособляются.
Правильно: он не имеет такого выраженного характера. Подробнее см. в «Письмовнике».
Возможно как слитное, так и раздельное написание.