Вместо "находиться в подведомственности" лучше сказать подчиняться, быть в управлении кого-либо.
Для оформления вопроса как прямой речи здесь нет оснований. Верен второй вариант, и в нем запятая перед когда действительно не ставится, так как придаточная часть усечена до одного союзного слова (когда).
Если из контекста ясно, о каком веке идет речь, правильно: 60-е годы.