Спорным можно считать вопрос, является ли ё в слове тяжёлый частью корня или суффикса. В полном академическом справочнике «Правила русской орфографии и пунктуации» (М., 2007) тяжёлый отнесено к перечню корней с сочетанием жё. Написание ё в этом случае обусловлено правилом: пишется ё после шипящих в словах, в корне которых под ударением произносится о, чередующееся с е в других формах или в других словах того же корня: тяжёлый – тяжелее, тяжелеть.

Впрочем, даже если считать ё частью суффикса, отсюда не следует написание слова тяжёлый через о. Д. Э. Розенталь в «Справочнике по правописанию и литературной правке» так формулирует правило о написании о, ё в суффиксах прилагательных после шипящих: «После шипящих под ударением пишется о в соответствии с произношением в суффиксах имён прилагательных: -ов- (ежовый, чесучовый), -он (смешон)». Как мы видим, суффикс -ёл- в этот список не входит.

Предложение надо перестроить. Например: Под необходимой возможностью автор понимает...

Фразеологизм - стричь всех под одну гребенку.

Корректно слитное написание.

Современной орфографической норме соответствует написание естественно-научный. Можно сослаться на  «Русский орфографический словарь» РАН под ред. В. В. Лопатина (М., 2007)  – самый полный современный орфографический справочник, а также на «Орфографический словарь русского языка» Б. З. Букчиной, И. К. Сазоновой, Л. К. Чельцовой (М., 2008), включенный приказом Министерства образования и науки РФ в список грамматик, словарей и справочников, содержащих нормы современного русского литературного языка при его использовании в качестве государственного языка Российской Федерации.

Затруднения в написании слова естественно-научный обусловлены тем, что по «Правилам русской орфографии и пунктуации» 1956 года (которые действуют до сих пор) верно слитное написание этого слова (как образованного от словосочетания естественные науки). Однако в пунктах, касающихся слитного / дефисного / раздельного написания, «Правила русской орфографии и пунктуации» устарели и расходятся с современной практикой письма, поэтому необходимо руководствоваться предписаниями современных орфографических словарей.

Это синонимы ко всему фразеологическому выражению закинуть удочку, о синонимах к одному только слову закинуть (если мы имеем в виду идиому) говорить бессмысленно: для фразеологизма характерно целостное значение, неразложимость на части. Если же выражение закинуть удочку употребляется в прямом значении, подобрать синоним труда не составляет: забросить.

Слушаться маму, бабушку – это винительный падеж, такие конструкции характерны для разговорной речи. Стилистически нейтральны конструкции с родительным падежом, например: Он слушается матери (И. Тургенев). [Лодка] вышла на течение и сразу, под его напором, не слушаясь весел, понеслась вниз (К. Федин).

Ваш вопрос можно разбить на несколько вопросов, каждый из которых требует ответа.

1. Список Минобрнауки со временем может (и должен) быть расширен, ибо сейчас в нем нет (вопреки названию) ни справочников, ни грамматик, а есть только 4 словаря, выпущенные к тому же одним издательством. В этом перечне отсутствуют многие авторитетные академические словари, что вовсе не делает эти издания ненужными и не заслуживающими доверия. «Толковый словарь русского языка» С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой (если о нем речь в Вашем вопросе) не нуждается в каких-либо представлениях и рекомендациях, это один из лучших словарей русского языка, к которому можно обращаться и на который можно ссылаться.

2. Орфографию нужно проверять по орфографическим словарям; словарь, о котором мы говорили выше, – толковый. А вот к современным изданиям, выходящим под названием «Орфографический словарь под ред. Ожегова», надо подходить с максимальной осторожностью, надежными справочниками по современному русскому языку они служить не могут. Подробнее об этом см. в ответе на вопрос № 258989.

3. Написание буквы Ё регулируется правилами русского правописания. В соответствии с ними буква Ё пишется в 3 случаях: 1) когда необходимо предупредить неверное чтение и понимание слова, например: узнаём в отличие от узнаем; всё в отличие от все; совершённый (причастие) в отличие от совершенный (прилагательное), сюда же относится Ё в именах, отчествах, фамилиях людей: Чернышёв – Чернышев; 2) когда надо указать произношение малоизвестного слова, например: река Олёкма; 3) в cпециальных текстах: букварях, школьных учебниках русского языкa, учебниках орфоэпии и т. п., а также в словарях для указания места ударения и правильного произношения. В остальных случаях написание Ё факультативно (необязательно).

Корректно: В бою под Орлом, под Варшавой, в жестоком огне батарей я чувствовал слева и справа поддержку окопных друзей.

Федеральным законом от 9 ноября 2009 г. № 253-ФЗ «О внесении изменений в отдельные законодательные акты Российской Федерации» (принят Государственной Думой 21 октября 2009 года, одобрен Советом Федерации 30 октября 2009 года) установлено единообразное использование в законодательстве Российской Федерации слов паралимпийский и сурдлимпийский, а также образованных на их основе словосочетаний: Паралимпийский комитет России, Паралимпийские игры и др.

Словарями русского языка (см., например: Русский орфографический словарь РАН / под ред. В. В. Лопатина. М., 2005) зафиксировано написание Параолимпийские игры, Параолимпиада. «Казалось бы, это логично, – писала blank>Марина Королёва. – Ведь речь в данном случае идет о сложном слове, состоящем из двух частей: известном нам прилагательном "олимпийский" и "пара-" (от греческого para - возле, около, при). Первая часть, пара-, указывает в сложных словах на то, что нечто находится рядом, около. Или же на отклонение от чего-либо (паранормальный, парамагнитный). Параолимпийские игры – это спортивные состязания, те же Олимпийские игры, но для инвалидов, людей с ограниченными возможностями. Проводятся по традиции следом за Олимпийскими играми, с некоторых пор даже в тех же городах. Пара-олимпийский: просто и ясно». О первых случаях появления в официальных документах варианта Паралимпийские игры В. В. Лопатин, ответственный редактор «Русского орфографического словаря», председатель Орфографической комиссии РАН, говорил так: «У нас появилась Лимпиада».

И всё же официальными документами (теперь уже окончательно) установлено написание Паралимпийские игры (ср. англ. Paralympic Games, фр. Jeux Paralympiques, исп. Juegos Paralímpicos). Вот справка Государственно-правового управления к Федеральному закону от 9 ноября 2009 г. № 253-ФЗ: «В законах и подзаконных актах, принятых до вступления в силу Федерального закона от 4 декабря 2007 года № 329-ФЗ "О физической культуре и спорте в Российской Федерации", в написании этих слов использовалась буква "о", а именно: "параолимпийский" и "сурдоолимпийский". В названном Федеральном законе написание указанных слов приведено в соответствие с правилами, установленными международными спортивными организациями, что потребовало внесения необходимых изменений в ряд законодательных актов».