В орфографических словарях такое наименование не закреплено. Если оно является постоянным специальным (терминологичным) наименованием исторического события, то правильно написание с прописной: Григорианская миссия.
Правильно со строчной: григорианский календарь, юлианский календарь.
См. в Горячей десятке вопросов.
Правильно строчными: лунный календарь, восточный гороскоп.
Все названия должностей, кроме названий некоторых высших государственных должностей (в документах), пишутся строчными буквами.
С буквы З :)
О правилах оформления заявлений читайте в "Письмовнике".
См. ответ на вопрос № 240261.